Testi delle esercitazioni grafiche
Autore
COMPOSIZIONE DI SOLIDI
Sia assegnato il punto X(X'=17; X"=15)
Condurre per esso una retta (s// p1+Ð30°p2+), quindi una nuova retta orizzontale (r// p1+Ð30°p2+) così caratterizzata: (r'º s'); T2r= 5.
Sulla retta r(r';r") identificare i punti Y(Y';Y") e Z(Z';Z") in modo tale che sia (X'Y'=X'Z'=10) con Z'>Y'.
I punti Y e Z sono i centri di due cerchi a quota costante tangenti in X' e basi superiori di due cilindri circolari con le basi inferiori unite a p1+.
I medesimi punti Y e Z sono, inoltre, i vertici di due coni retti di altezza h=14 e base circolare di raggio r=4.
La base del cono è inscritta in un quadrato con un asse avente le caratteristiche geometriche delle rette r ed s. Ogni lato del quadrato suddetto identifica il lato superiore della base quadrata di una piramide retta con i vertici definiti come di seguito. Le basi opposte al punto X hanno in esso il punto unito del vertice delle due piramidi, mentre i vertici delle restanti piramidi, di altezza h=l sono collocati alla medesima quota del vertice X.
Sulla base dei coni, infine, costruire un triangolo equilatero inscritto nella stessa ed avente un vertice collocato sulle proiezioni r'º s'. I triangoli così definiti sono le basi di due piramidi rette con i vertici così caratterizzati A(A'ºY';A"=30), B(B'º Z'; B"=30).
Definita la rappresentazione curare il trattamento delle superfici laterali con colori e/o campiture a scelta dello studente con lo scopo di facilitarne la lettura spaziale nei rapporti fronte/retro e alto/basso.
DAL TESTO ALL'IMMAGINE - Composizione di figure piane
Sia assegnato il
punto X(X'=10;X"=10).
Condurre per X una retta a(//p1+
Ð 30°p2+)
diagonale maggiore di un rombo (ABCD), a quota costante, con la
semidiagonale AX=7,5 cm. Identificare la diagonale AB in modo tale che sia
B'>A' e la diagonale minore CD=2/3 AB con C'>D'.
I lati del rombo così definiti
costituiscono le basi di quattro triangoli isosceli con i vertici uniti
a p1+
le cui altezze sono costituite da
altrettante rette aventi i seguenti caratteri geometrici h(^p1+ //p2+).
Gli stessi lati sono anche le basi di
quattro triangoli qualunque così caratterizzati:
[BCE(E'ºbaricentro(BCX); E"=18)], [ACF(F'ºbaricentro(ACX); F"=21)], [ADG(G'ºbaricentro(ADX); G"=24)], [DBH(H'ºbaricentro(DBX); H"=27)]
Definire
composizione e rappresentazione delle figure piane evidenziando
i rapporti spaziali fronte/retro e alto/basso.
1.Dalle proiezioni alla vera forma
Definire la vera forma e le vere dimensioni delle seguenti figure piane
Triangolo (ABC)Îa(^p1+ Ðp2+) con A"=1; B"=5; C"=3
Triangolo (DEF)Îb(Ðp1+ ^p2+) con D'=3; E'=0; F'=5
Quadrilatero (ABCD)Îa(^p1+ Ðp2+) con A"=1; B"=1; C"=0; D"=4
Quadrilatero (EFGH)Îb(Ðp1+ ^p2+) con E'=1; F'=2; G'=3; H'=4
2.Dalla vera forma alle proiezioni
Definire le proiezioni ortogonali di un triangolo equilatero, con dimensioni a scelta dello studente, appartenente al piano a(^p1+ Ðp2+)
Definire le proiezioni ortogonali di un rettangolo, con dimensioni a piacere, ed i lati nel rapporto 1:2, appartenente al piano b(Ðp1+ ^p2+)
LE
OPERAZIONI GEOMETRICHE: Sezione punteggiata di solidi a facce
Assegnato il punto A(A'=1;A"=5), condurre per esso la retta r(//p1+ Ð 30°p2+)Ì A.
Definito il segmento ABÎ r, con dimensioni a scelta dello studente e con B'>A', costruire il rettangolo ABCD, a quota costante, con AB=1/2 AC. Il rettangolo descritto costituisce la base di una piramide retta con il vertice V(V';V") collocato nello spazio del diedro con quota a scelta dello studente.
Definita
la rappresentazione del solido sezionare lo stesso mediante un piano a(Ðp1+
Ðp2+)
utilizzando l'algoritmo grafico per la ricerca della sezione
punteggiata.
LE
OPERAZIONI GEOMETRICHE: Sezione rigata di solidi a facce
Assegnato il punto A(A'=1; A"=5), condurre per esso la retta r(//p1+ Ð 45°p2+)Ì A.
Definito il segmento ABÎ r, con dimensioni a scelta dello studente e con B'>A', costruire il rettangolo ABCD, a quota costante, con AB=1/2 AC. Il rettangolo descritto costituisce la base di una piramide retta con il vertice V(V';V") collocato nello spazio del diedro con quota a scelta dello studente.
Definita
la rappresentazione del solido sezionare lo stesso mediante un piano a(Ðp1+
Ðp2+)
utilizzando l'algoritmo grafico per la ricerca della sezione rigata.
ASSONOMETRIA ORTOGONALE: METODO INDIRETTO
Dato l'elemento modulare dell'immagine accanto, definire, in proiezione ortogonale una composizione, scelta dall'alunno, costituita da 3 o più elementi. Successivamente eseguire la rappresentazione assonometrica della stessa secondo il metodo indiretto nelle tipologie isometrica, dimetrica e trimetrica utilizzando i valori angolari degli assi ed i coefficienti di riduzione tabellati e d'uso.
ASSONOMETRIA OBLIQUA
Data la composizione di solidi come nell'immagine accanto, con dimensioni scelte dallo studente, definire la rappresentazione assonometrica cavaliera e monometrica dello stesso elemento.
L'impostazione della terna degli assi assonometrici è a scelta dello studente.
OMBRA IN ASSONOMETRIA
Applicare
la teoria dell’ombra in assonometria all’elaborato n° 6.
In
alternativa per chi non ha una composizione idonea
Rappresentare una composizione di due solidi sovrapposti e definirne l’ombra propria e portata.
COMPOSIZIONE E ASSONOMETRIA
Definita una composizione, costituita dall'elemento rappresentato a fianco, formata da tre o più elementi modulari composti secondo le aspirazioni del singolo studente, eseguire una rappresentazione assonometrica cavaliera dimetrica e monometrica della composizione stessa nel rapporto 1:2.
L'impostazione della terna degli assi assonometrici è a scelta dello studente.
Assegnato il punto il punto V(V'=3; V"=6) Î a(Ð60°p1+ // p2 +) determinare un piano (a Ì V) e costruire il segmento (VX ^ a) con V"X" = 10 cm., quindi condurre per X il piano (b Ì X) // a. Sapendo che X è il vertice unito di due triangoli isosceli uguali opposti al vertice appartenenti al piano b, definirne le proiezioni ortogonali.
I triangoli così definiti rappresentano le basi di due piramidi rette perpendicolari al piano b con le altezze, contenenti il baricentro, nel rapporto 1:2.
I vertici delle basi dei triangoli, collegati tra di loro,definiscono, poi, il parallelogramma della base della piramide retta con il vertice nel punto V definito all'inizio.
Curare, infine la resa cromatica dei solidi e il trattamento delle superfici delle facce in vista nei rapporti dietro/avanti e sopra/sotto.
DAL TESTO ALL'IMMAGINE - COMPOSIZIONE DI SOLIDI-
Sia assegnato il punto X(X'=13; X"=10)
Sapendo che X è il centro di una circonferenza a quota costante e raggio R=4 cm, definire il triangolo equilatere (ABC) in essa inscritto con A[A'<(B'=C'); A"=B"=C"=10].
Per ogni lato del triangolo definire un quadrato a quota costante e base di una piramide retta con il vertice V(V';V") unito a p1+ .
Adiacenti ai quadrati di cui sopra e secondo i tre assi del triangolo equilatero, definire altri quadrati, sempre a quota costante nei quali inscrivere i cerchi di base di tre coni retti con il vertice unito p1+ .
Sulle tre basi delle piramidi definire altrettanti triangoli isosceli con le basi unite ai lati del triangolo e i vertici sul punto medio del lato opposto. Detti triangoli sono le basi di tre piramidi rette con i vertici L così caratterizzati L(L'ºcircocentro; L"=30).
Sui quadrati delle basi dei coni costruire altrettante piramidi come le precedenti ruotate in senso orario di 90° con i vertici P così caratterizzati P(P'ºcircocentro; P"=20).
Definita la rappresentazione della composizione curare il trattamento delle superfici laterali con colori e/o campiture a scelta dello studente con lo scopo di facilitarne la lettura spaziale nei rapporti fronte/retro e alto/basso.
PUNTI, SEGMENTI, RETTE:Applicazione per la definizione e rappresentazione di una composizione di figure piane
Sia assegnato il punto X(X'=13;X"=15).
Condurre per X una retta a(//p1+ Ð 60°p2+) ed asse di un quadrato (ABCD) a quota costante circoscritto ad una circonferenza di centro X e raggio R=7.
Identificare i vertici A e B nei punti di minore aggetto con A'>B' ed i vertici C e D in modo da formare i lati AD e BC.
I lati del quadrato così definiti costituiscono le basi di quattro triangoli isosceli con i vertici uniti a p1+ le cui altezze sono costituite da rette aventi i seguenti caratteri geometrici h(^p1+ //p2+).
I medesimi lati sono anche le basi di quattro triangoli qualunque così caratterizzati:
[ADY(Y'ºX'; Y"=18)], [DCY(Y'ºX'; Y"=21)], [BCY(Y'ºX'; Y"=24)], [ABY(Y'ºX'; Y"=27)]
DAL TESTO ALL'IMMAGINE
Sia assegnato X(X'=15;X"=15) quale baricentro di un triangolo equilatero ABC a quota costante inscritto in una circonferenza di raggio R=6 cm con l'asse passante per X così caratterizzato x(//p1+ Ð 20°p2+).
Il triangolo ha il vertice A sulla retta x con A'< X' mentre i vertici B e C sono tali che B'< C'.
Ogni lato di questo triangolo costituisce la base di un nuovo triangolo esterno equilatero a quota costante formante la base di una piramide retta con il vertice V unito a p1+.
I vertici ABC costituiscono i baricentri di altri tre triangoli a quota costante aventi un vertice unito coincidente nel punto X. Questi tre triangoli sono le basi di altrettante piramidi di altezza H=18.
Conclusa la rappresentazione ortogonale curare il trattamento delle superfici con colori e/o campiture a scelta dello studente con lo scopo di facilitare la lettura spaziale nei rapporti fronte/retro e alto/basso.
DAL
TESTO ALL'IMMAGINE: COMPOSIZIONE DI SOLIDI
Sia
assegnato il punto X(X'=11; X"=10) centro di una circonferenza a
quota costante e raggio r=7. Condurre per x una retta a(//p1+
Ð 15°p2+).
Staccare su di essa il segmento (AB) diametro della circonferenza ed asse
di un quadrato circoscritto alla stessa. mediante l'altro asse suddividere
il quadrato in quattro quadrati uguali ove sono inscritte le basi di
quattro coni circolari retti aventi i vertici uniti a p1+. Sulla
retta a fissare un nuovo punto Y(Y'>X'), baricentro di un quadrato
uguale a quello definito e con un lato ad esso unito. Suddividere, poi,
questo quadrato in quattro quadrati mediante i due assi. All'interno di
ogni quadrato costruire un triangolo isoscele avente la base coincidente
con l'asse e il vertice dei lati uguali sul punto medio del lato opposto
alla base. Ogni triangolo, inoltre, è ruotato di 90° rispetto al
precedente e costituiscono le basi di quattro piramidi rette con i vertici
delle facce laterali alle quote 20, 24, 28, 32. Definire
e rappresentare la composizione di solidi curando anche il trattamento
delle superfici laterali.
CONDIZIONI DI APPARTENENZA
Completare l'elaborato grafico n° 12 definendo, per ogni triangolo superiore, un nuovo triangolo vuoto con i vertici Î ai punti medi dei triangoli già definiti. Su ciascun triangolo isoscele avente il vertice (V) unito a p1+ costruire un esagono vuoto aventi tre vertici Î ai punti medi dei lati del triangolo definito e tre vertici Î ai punti medi delle mediane aventi per estremi un vertice ed il baricentro del triangolo.Completare la composizione con un trattamento delle superfici che evidenzi la spazialità degli elementi in composizione.
Siano assegnati i seguenti punti A(A'=10; A"=2), B(B'=4;B"=12).
Condurre per essi le seguenti due rette a(//p1+ Ð60° p2+)ÌA, b(//p1+ Ð60° p2+)ÌB definendo aÌ(a//b).
Sapendo che (AB) è il lato del parallelogramma (ABCD) con (BCÎb)=(AB) e (ADÎa)=(AB),definirne le proiezioni ortogonali.
Collegando i punti medi dei lati definire il parallelogramma (EFGH)Î(ABCD).
Sapendo che esso è la base di una piramide retta, con altezza a scelta dello studente e il vertice collocato nella parte interna del diedro, definirne le proiezioni.
I restanti quattro triangoli sono, le basi di altrettante piramidi rette con altezze uguali a scelta dello studente ed i vertici collocati nello spazio esterno del diedro.
Definire le proiezioni ortogonali della composizione di solidi curando la resa cromatica dei solidi ed il trattamento delle superfici in vista per la corretta lettura dei rapporti dietro/avanti e alto/basso.
LE OPERAZIONI GEOMETRICHE: Sezione punteggiata di solidi a facce
1. Assegnato il punto A(A'=1;A"=5), condurre per esso la retta r(//p1 Ð+ 60°p2+)ÌA.
Definito il segmento ABÎ r, con dimensioni a scelta dello studente, costruire il rettangolo ABCD con AB=1/2 AC. Il rettangolo descritto costituisce la base di una piramide retta con il vertice V collocato nello spazio del diedro con quota a scelta dello studente. Definita la rappresentazione del solido sezionare lo stesso mediante un piano a(Ðp1+ Ðp2+) utilizzando l'algoritmo grafico per la ricerca della sezione punteggiata.
2. Siano assegnati i punti A(A'=3;A"=10), B(B'=3;B"=10). Sapendo che AB è il lato di un triangolo scaleno punteggiato ABC con C(C'=3;C"=4) definirne le proiezioni.
Detto triangolo è la base di una piramide retta con il vertice V collocato, a piacere dallo studente nello spazio del diedro. Completata la rappresentazione del solido sezionare lo stesso con un piano a(Ðp1+ Ðp2+//lt) applicando l'algoritmo grafico per la ricerca della sezione punteggiata.
LE OPERAZIONI GEOMETRICHE: Sezione rigata di solidi a facce
Assegnato il punto A(A'=1;A"=5), condurre per esso la retta r(//p1+ Ð 60°p2+)ÌA.
Definito il segmento ABÎ r, con dimensioni a scelta dello studente, costruire il rettangolo ABCD con AB=1/2 AC. Il rettangolo descritto costituisce la base di una piramide retta con il vertice V collocato nello spazio del diedro con quota a scelta dello studente. Definita la rappresentazione del solido sezionare lo stesso mediante un piano a(Ðp1+ Ðp2+) utilizzando l'algoritmo grafico per la ricerca della sezione rigata.
OMBRE DI FIGURE PIANE
Definire l'ombra di quattro figure piane, comunque collocate nello spazio, a scelta dell'alunno con raggi di luce a piacere dello studente.
OMBRA DI SOLIDI A FACCE
Definire l'ombra propria e portata dei seguenti solidi a facce con raggi luce a piacere dello studente.
Piramide retta a base triangolare ed a quota costante.
Prisma retto a base rettangolare con base parallela a p1+ e faccia laterale obliqua p2+
OMBRA DI SOLIDI DI ROTAZIONE
Definire l'ombra propria e portata dei seguenti solidi di rotazione con raggi luce a piacere dello studente.
Cono circolare retto collocato nello spazio del primo diedro con la base a quota costante.
Cilindro circolare retto collocato nello spazio del primo diedro con la base a quota costante.
PROSPETTIVA: Metodo dei punti di distanza
Definire la resa prospettica con il metodo dei punti di distanza (preparatorio e prospettiva) di una composizione di solidi costituita da un cubo centrale ed otto coni retti di cui due con le basi appartenenti a due facce laterali opposte del cubo e quattro coni compenetrati al cubo con i vertici coincidenti con il baricentro del cubo.
PROSPETTIVA DI COMPOSIZIONE MODULARE
Dato l'elemento modulare dell'immagine accanto (omesso), definire una composizione costituita da cinque (o più) elementi. Eseguire, poi, la proiezione ortogonale nello spazio geometrico dell'elaborato grafico della prospettiva completando la rappresentazione della composizione stessa con una resa prospettica secondo il metodo diretto o del ribaltamento.
L'OMBRA
IN ASSONOMETRIA: APPLICAZIONI
Applicare la teoria dell’ombra in assonometria all’elaborato costituito dalla composizione modulare definita dallo studente su modulo assegnato.
ASSONOMETRIA
OBLIQUA
Dato il modulo (assegnato nelle proiezioni ortogonali) con altezza variabile, definire e rappresentare in proiezione ortogonale una composizione costituita da più moduli nel numero scelto dallo studente. Successivamente eseguire la rappresentazione assonometrica della stessa secondo le leggi dell'assonometria obliqua monometrica.
ASSONOMETRIA
ORTOGONALE DIMETRICA DI SOLIDI IN COMPOSIZIONE
1.
Siano date due rette
orizzontali (a//b) Ð 30° p2+ con
la distanza d= 5cm e (T2a=T2b=
2. Siano date due rette orizzontali (a//b) Ð 30° p2+ con a'ºb' e (T2a=1; T2b=5). Definire il rettangolo (A,B,C,D) con i lati in rapporto 1:2. Il rettangolo stabilito è la base di una piramide retta con il vertice unito a p2+ e, contemporaneamente, la base di due piramidi rette a base quadrata con dimensioni delle altezze scelte dallo studente. Dopo aver definito la proiezione ortogonale del suddetto gruppo di solidi eseguirne la rappresentazione assonometrica ortogonale dimetrica con il metodo diretto.
OMBRA DI SOLIDI IN COMPOSIZIONE
Sia assegnato il punto A(A'=15;A"=10). Condurre per esso due rette
orizzontali (a,b) così caratterizzate: a(Ð60°p2+ // p1+) ^ b
(Ðp2+ // p1+ ). Il punto (A) è
il vertice del rettangolo (A,B,C,D) con [(AB)Îa]=3(AC). i due quadrati estremi del rettangolo
costituiscono le basi di due piramidi rette con i vertici uniti a p1+
mentre nel quadrato centrale è inscritto un
cerchio che costituisce la base di un cono retto con il vertice unito a p1+. Negli stessi quadrati esterni sono
inscritti altri due cerchi, uniti alle basi delle piramidi, che
costituiscono le basi di altrettanti coni circolari retti con i vertici
nello spazio del ID aventi medesimo valore di quota. Il quadrato centrale
è, invece la base di una piramide retta con il vertice nello spazio del
ID ma con quota superiore a quella dei coni. Definire le ombre proprie e
portate dei solidi in composizione mediante raggi luminosi con
inclinazione scelta dallo studente.
LE
OPERAZIONI GEOMETRICHE: Sezioni rigate di solidi a facce
1. Siano definiti, dallo studente, i vertici A,B,C di un
triangolo qualsiasi collocandoli nello spazio del primo diedro con valori
di quota (A’’=B’’=C’’=y>0). Sia, poi, ABÎa(//p1+//p2+) uno spigolo del triangolo formante la base della
piramide retta con il vertice V collocato nello spazio del primo diedro a
scelta dello studente.
Eseguita
la rappresentazione ortogonale del solido si sezioni lo stesso mediante il
piano
a(Ðp1+ Ðp2+// lt) ricercando l’elemento risultante come figura
piana rigata ottenuta intersecando il piano dato con i piani delle facce.
2. Siano definiti dallo studente i punti A,B,C,D relativi ai
vertici di un rettangolo collocandoli nello spazio del primo diedro con
valore di quota (A’’=B’’=C’’=D’’=y>0) in modo che i
lati siano nel rapporto 1:2 ed il lato maggiore risulti obliquo di 30°
rispetto a p2+. Sapendo che esso è la base di una piramide retta con il
vertice V posto nello spazio del diedro, a scelta dello studente,
definirne le immagini in forma ortogonale.
Eseguita la rappresentazione del solido sezionare lo stesso mediante un piano a(Ðp1+ Ðp2+) ricercando l’elemento risultante come figura piana rigata ottenuta intersecando il piano dato con i piani delle facce.
LE
OPERAZIONI GEOMETRICHE: Sezioni punteggiate di solidi a facce
1. Siano definiti, dallo studente, i vertici A,B,C di un
triangolo qualsiasi collocandoli nello spazio del primo diedro con valori
di quota (A’’=B’’=C’’=y>0). Sia, poi, ABÎa(//p1+//p2+) uno spigolo del triangolo formante la base della
piramide retta con il vertice V collocato nello spazio del primo diedro a
scelta dello studente.
Eseguita la rappresentazione ortogonale del solido si
sezioni lo stesso mediante il piano
a(Ðp1+
Ðp2+// lt) ricercando l’elemento risultante come figura
piana punteggiata.
2. Siano definiti dallo studente i punti A,B,C,D relativi ai
vertici di un rettangolo collocandoli nello spazio del primo diedro con
valore di quota (A’’=B’’=C’’=D’’=y>0) in modo che i
lati siano nel rapporto 1:2 ed il lato maggiore risulti obliquo di 30°
rispetto a p2+. Sapendo che esso è la base di una piramide retta con il
vertice V posto nello spazio del diedro, a scelta dello studente,
definirne le immagini in forma ortogonale.
Eseguita la rappresentazione del solido sezionare lo stesso mediante un piano a(Ðp1+ Ðp2+) ricercando l’elemento risultante come figura piana punteggiata.
LA
CONDIZIONE DI ORTOGONALITA’ – APPLICAZIONI
1.
Siano date due rette
orizzontali (a//b)
Ð
30° p+2
con
la distanza d= 5 e con T2a=T2b=5. Dato, poi, il
punto A(A’=1;A’’=5)Îa, definire il segmento (AB)Îa, lato del rettangolo (A,B,C,D)Î
(a,b) con il lato AB=2AC ed il lato (CD)
Îb. Considerando detto rettangolo la base di una piramide
retta con vertice in V È
p+1,
definirne
le proiezioni. Lo stesso rettangolo costituisce, contemporaneamente, la
base di due piramidi rette a base quadrata con i vertici R(R’= da
definire;R’’=10), S(S’=da definire;S’’=15). Completare
l’applicazione determinando le proiezioni ortogonali della composizione
costituita dalle tre piramidi con le basi unite curandone, inoltre,
l’aspetto cromatico e/o grafico secondo le diverse inclinazioni degli
studenti.
2.
Siano date due rette orizzontali (a//b)
Ð 30° p2+ con a'ºb' e (T2a=1; T2b=5). Definire il
rettangolo (A,B,C,D) con i lati in rapporto 1:2. Il rettangolo definito è
la base di una piramide retta con il vertice unito a p2+
e,
contemporaneamente, la base di due piramidi rette a base quadrata con
dimensioni delle altezze scelte dallo studente e i vertici collocati nello
spazio del diedro.
Completare l’applicazione determinando le proiezioni ortogonali della
composizione delle piramidi con le basi unite curandone, inoltre,
l’aspetto cromatico e/o grafico secondo le diverse inclinazioni degli
studenti.
LA CONDIZIONE DI
PARALLELISMO
1.
Dati a ( Ðp1+
Ð p2+ // lt) ed X(X';X'')Îa definire un parallelogramma
(A,B,C,D)Îa avente in X il baricentro.
2.
Sapendo che X è il punto medio delle due diagonali del
parallelogramma (A,B,C,D)Îa( Ðp1+ Ð p2+) determinarne
le proiezioni. Quindi definiti gli assi dello stesso individuare e
rappresentare il parallelogramma (E,F,G,H)Îa con i vertici sugli assi e i lati contenenti i vertici del parallelogramma
(A,B,C,D).
3.
Dato a( Ðp1+ Ð p2+ )
definire (a//b), (c//d) in modo da formare un parallelogramma (A,B,C,D)Îa. Quindi per X(X'=2;X''=2) Ïa definire il piano
b//a. Sapendo, inoltre, che X è il baricentro di un
parallelogramma (E,F,G,H)Îb simile ad (A,B,C,D), definirne le proiezioni.
4.
Sia dato un punto XÎa con X(X'=3; X''=6) ed a( Ðp1+ Ð p2+
). Costruire per X un fascio di tre rette (a,b,c)Îa a scelta dello studente. Quindi su ogni retta definire
il vertice di un triangolo qualunque tale che sia (AÎa), (BÎb),
(CÎc). Infine precisare e rappresentare un triangolo (E,F,G)
esterno ad (A,B,C), con i tre lati contenenti ciascuno un vertice del
triangolo già definito e paralleli, ciascuno, ai lati opposti ai vertici
contenuti.
LA
CONDIZIONE DI APPARTENENZA O CONTENENZA
2.
Sia dato il piano a ( Ðp1+
Ð p2 + // lt); definire un
quadrilatero (A,B,C,D)Îa, con dimensioni a scelta
dello studente. Verificare, quindi, che i lati del quadrilatero (E,F,G,H)
costruito sui punti medi dei lati del primo appartengono al piano a.
4. Dati i punti A(A'=3; A''=2), B(B'=1; B''=6), C(C'=4; C''=1) definire le proiezioni del relativo triangolo punteggiato. Quindi su due mediane individuare un punto opposto al vertice relativo in modo da definire il lato (X,Y) contenente un vertice del triangolo assegnato. Infine definire (X,Y,Z) Ì ( A,B,C) dimostrando che i due triangoli sono complanari.
Il numero indica il testo dell'esercitazione
DAL TESTO
ALL'IMMAGINE: COMPOSIZIONE ARTICOLATA DI SOLIDI
Sia
dato il punto X(X'=10;X"=10) centro di una circonferenza a
quota costante di raggio r=7.
Condurre
per X una retta orizzontale a( Ð15°p2+
// p1+ ).
Staccare su di essa il segmento (AB), diametro della circonferenza ed asse
di un quadrato circoscritto alla stessa. Mediante l'altro asse suddividere
il quadrato in quattro quadrati uguali. Inscrivere in questi quadrati
quattro cerchi che costituiscono le basi di altrettanti coni circolari
retti con i vertici uniti a p1+.
Sulla
stessa retta a(a'; a"; T1a; T2a) fissare un
punto Y(Y';Y") con Y'>X', centro di un nuovo quadrato, uguale a
quello già definito e con un lato unito al lato del primo quadrato.
Suddividere anche questo quadrato in quattro parti inscrivendovi quattro
cerchi basi di altrettanti coni circolari retti aventi anche essi i
vertici uniti a p1+
.
Sui
quattro quadrati della prima figura costruire quattro triangoli isosceli
con le basi sui lati esterni ed il vertice sul punto medio del lato
interno opposto alla base . Ogni triangolo è ruotato, inoltre, di 90°
rispetto al precedente. Detti triangoli sono le basi di quattro piramidi
rette con i vertici nello spazio del ID e quote crescenti in senso
rotatorio con i seguenti valori 18; 20; 22; 24.
Sui quattro quadrati della seconda figura costruire altrettanti triangoli isosceli aventi le basi sui lati interni ed il vertice sul punto medio del lato opposto alla base. Anche ciascuno di questi triangoli è ruotato, rispetto al precedente, di 90°. Essi costituiscono la basi di altrettante piramidi rette con i vertici nello spazio del ID e quote crescenti in senso rotatorio con i seguenti valori 26; 28; 30;32.
Definire la rappresentazione della composizione dei solidi in forma ortogonale caratterizzandola mediante soluzioni grafiche e cromatiche a scelta dello studente.
DAL
TESTO ALL'IMMAGINE: COMPOSIZIONE DI SOLIDI
Sia assegnato il punto V(V'=13; V"=0) vertice della piramide retta a base quadrata (A, B, C, D). La base di lato l=8 ed a quota costante con A"=B"=C"=D"=15 ha la diagonale (AC)Ð15°p2+ . Detto quadrato è anche la faccia del cubo sovrapposto alla piramide con gli spigoli verticali (AE) e (CG) collocati sulla diagonale (AC). I vertici (E) e (G) costituiscono i centri di due circonferenze a quota costante tangenti tra loro ed alla diagonale (FH) della faccia superiore del cubo. I triangoli equilateri inscritti nelle due circonferenze che hanno un vertice unito sul punto di tangenza costituiscono le basi di due piramidi rette di altezze differenti i cui vertici sono collocati nello spazio del ID con quota a scelta dell'allievo. Rappresentare la composizione di solidi in proiezione ortogonale.
RAPPRESENTAZIONE
DI SOLIDI A FACCE
1.
Siano dati i seguenti punti X(X'=15;X"=2), V(V'ºX';V"=18).
Condurre per X una retta orizzontale inclinata di 35° rispetto a p2+.
Staccare su di essa il segmento AX=7 raggio della circonferenza di centro
X ed a quota costante. Costruire, quindi il triangolo equilatero (A,B,C)
inscritto nella circonferenza e base della piramide retta avente per
vertice il punto V(V';V"). Rappresentare il solido in proiezioni
ortogonali individuando anche i piani delle facce laterali.
2. Siano assegnati i punti X(X'=3:X"=15), V(V'=20;V"ºX"). Condurre per X due rette frontali (a,b) formanti gli assi di un rettangolo ad aggetto costante con l'asse maggiore a così caratterizzato a( Ð35°p1+ // p2+ ). Il rettangolo, i cui lati sono in rapporto 1:2, costituisce la base di una piramide retta con vertice in V(V';V"). Rappresentare il solido in proiezione ortogonali individuando anche i piani delle facce laterali.
Il numero indica il testo dell'esercitazione
DAL TESTO
ALL'IMMAGINE Applicazione relativa a
figure piane
Sia dato il punto X(X’=10; X’’=13) baricentro di un triangolo equilatero punteggiato (A,B,C) a quota costante e raggio XA=6. Definire il triangolo in modo tale che il lato AB sia un segmento parallelo a p1+ ed obliquo di 15° rispetto a p2+ (AB //p1+Ð 15°p2+) . I tre lati AB, BC, AC sono le basi di tre triangoli isosceli (A,B,D); (B,C,E); (A,C,F) con le altezze relative alle basi proiettanti in prima proiezione e i vertici D, E, F, uniti a p1+, (D º D'); (E º E’); (F º F’). I medesimi lati AB, BC, AC, sono le basi di tre triangoli qualunque così caratterizzati: [A,B,Y(Y’ º X’; Y’’= 16)]; [B,C,Y(Y’ º X’; Y’’=19)]; [A,C,Y(Y’ º X’; Y’’=21)]; Si determini, infine, gli elementi rappresentativi delle rette ottenute dall’estensione dei lati AY; BY; CY.
OMBRA DI UNA COMPOSIZIONE DI SOLIDI
Definire le ombre proprie, portate e quelle su piani interposti della seguente composizione di solidi sviluppata lo scorso anno scolastico. L'inclinazione dei raggi è libera, a scelta dello studente.
Dato il punto X(X'=10; X''=6) condurre per X la retta orizzontale a(a',a'', T1a, T2a) inclinata di 50° rispetto a π2+ sulla quale staccare il segmento XA= 5 raggio della circonferenza con centro in X. Costruire quindi il triangolo equilatero (A,B,C) a quota costante e base della piramide retta avente il vertice delle facce laterali in V(V'ºX'; V''=24).
Quindi per L(L'ºX'º V' ; L''=18) condurre la retta orizzontale b(b',b'',T1b,T2b) disposta come la retta a. Su questa staccare il segmento LY=5 dove Y è il centro di una circonferenza a quota costante con Y' > L' . Costruire il triangolo equilatero (D,E,F), con un vertice opposto al punto L, inscritto nella medesima circonferenza e base della piramide retta con il vertice delle facce laterali in W(W'º Y'; W''=6).
Sapendo, infine, che il punto medio M(M',M'') del segmento XW è il raggio della circonferenza a quota costante con raggio MA, determinare i vertici della faccia superiore quadrata del parallelepipedo unito a π1+ base della composizione delle due piramidi triangolari.
APPLICAZIONE: DAL TESTO ALL'IMMAGINE
Dato il punto X(X'=10;X''=8) condurre per X la retta orizzontale a(a'; a''; T1a; T2a) inclinata di 50° rispetto a p2+ sulla quale staccare il segmento XA=5, raggio della circonferenza, a quota costante, con centro in X. Costruire quindi il triangolo equilatero (A,B,C) inscritto nella circonferenza e base della piramide retta avente il vertice delle facce laterali in V(V'ºX';V''=24). Quindi per L(Lº'X'ºV'; L''=18) condurre la retta b(b'; b''; T1b; T2b) caratterizzata geometricamente come la retta a. Su questa staccare il segmento LY=5 con Y'>L' dove Y è il centro di una circonferenza a quota costante. Costruire il triangolo equilatero (D,E,F) con un vertice opposto al punto L, inscritto nella medesima circonferenza e base della piramide retta con il vertice delle facce laterali in W(W'ºY';W''=8). Sapendo, infine, che il punto medio M(M';M'') del segmento XW è il raggio della circonferenza a quota costante con raggio MA, determinare i vertici della faccia superiore quadrata del parallelepipedo unito a p1+ base della composizione delle due piramidi triangolari
DAL TESTO ALL'IMMAGINE
Rappresentazione ortogonale di solidi in composizione
-
Siano dati i punti X(X’=10;X’’=5), Y(Y’=10;Y’’=5) estremi del segmento XY=10. I suddetti estremi sono i baricentri di due triangoli equilateri, a quota costante, aventi un vertice unito in un punto qualunque del segmento assegnato. Definire, quindi, le proiezioni ortogonali delle due piramidi rette aventi per basi i triangoli suddetti i cui vertici sono uno unito a p1+ e l’altro collocato nello spazio del diedro con il valore di quota a scelta dell'allievo.
-
Sia dato il segmento AB i cui estremi hanno i seguenti valori A(A’=3; A’’=3) , B(B’ºA’; B’’=8). Sapendo che questo segmento è lo spigolo di un cubo,definire gli altri in modo tale che gli spigoli AC e BD siano staccati su due rette orizzontali inclinate 30° rispetto a p2+. La faccia superiore, inoltre, coincide con la base di una piramide retta che ha il vertice nello spazio del diedro con valore di quota a scelta dello studente.
Le operazioni geometriche. La sezione rigata di solidi a facce
-
Sia dato X(X'=12;X''=8) vertice unito di due piramidi rette (una a base triangolare l'altra a base quadrata) collocate nello spazio del primo diedro, con le basi unite una a p1+ e l'altra unita a p2+ . Collocato nello stesso diedro un piano a(Ðp1+ Ðp2+//lt) definire e rappresentare le figure piane rigate risultanti dalla sezione dei due solidi con il piano a.
-
Siano dati i punti A(A'=6;A''=7), B(B'=11;B''ºA''), C(C'=6;C''=7), D(D'=11;D''ºC'') in modo da costituire un quadrato di lato AB. Detto quadrato forma la superficie unita di due prismi a base triangolare con gli assi x ed y ortogonali tra loro ed in particolare con x(//p1+//p2+), y(//p1+^p2+). Collocato nello stesso diedro un piano a(Ðp1+ Ðp2+) definire e rappresentare le figure piane rigate risultanti dalla sezione dei due prismi con il piano a.
Il numero indica il testo dell'esercitazione
Determinare e rappresentare la figura punteggiata piana risultante dalla sezione dei seguenti solidi a facce con un piano generico a collocato, a scelta dello studente, nello spazio del ID.
-
Piramide retta, a base triangolare con dimensioni e tipo di triangolo a scelta dello studente, con la base unita a p1+.
-
Piramide retta, a base quadrata con dimensioni a scelta dello studente, con la base unita a p1+.
-
Prisma retto, a base triangolare con dimensioni e tipo di triangolo a scelta dello studente, con la base unita a p1+.
Dal testo all'immagine. Composizione strutturata di solidi
Siano
assegnati i piani a(//p1+
^
p2+)
e
b(//p1+ ^
p2+)
con
il piano a
Ì X(X’=18;X’’=10)Îr(//p1+
Ðp2+)
con r’
Ð
30° p2+
e
il piano bÌ
Y(Y’ºX’; Y’’=15)Îs(//p1+
Ðp2+)
con s’
Ð
30° p2+
.
Le
rette r//s contengono gli assi delle facce di un parallelepipedo di cui
i punti X e Y costituiscono i centri della base e della faccia
superiore. Sapendo che trattasi di un parallelepipedo a base quadrata,
con dimensione a scelta dello studente, definirne le proiezioni.
L’asse
contenuto dalla retta s costituisce il lato maggiore, comune a due
rettangoli appartenenti al piano
b
e coincidenti con le semifacce del
solido. Detti rettangoli costituiscono le basi di due piramidi rette di
altezza uguale, a scelta dello studente, da individuare e rappresentare.
Le
tre facce laterali esterne delle piramidi a base rettangolare
costituiscono altrettante basi di piramidi rette, di altezza uguale, da
individuare e rappresentare.
Dato l'elemento modulare dell'immagine definire una composizione costituita da un numero minimo di cinque componenti.
Eseguire, poi la proiezione ortogonale della composizione nello spazio geometrico completando la rappresentazione della stessa con la resa prospettica secondo il metodo diretto o del ribaltamento.
Dal testo all'immagine. Applicazione relativa alle leggi descrittive
Dato il punto X(X'=10; X''=14) condurre per esso la retta orizzontale xÎaÌ X con a ( Ðp1+ Ð p2+ ). Condurre per X due rette (a,b)Îa attribuendo ad esse il ruolo di diagonali di un parallelogramma, sufficientemente ampio a scelta dello studente, sulle quali individuare i vertici (A,B,C,D) dello stesso di cui i segmenti consecutivi (AB) e (BC) costituiscono un lato lungo ed un lato corto del parallelogramma.
Individuati gli assi dello stesso determinare e rappresentare il parallelogramma (E,F,G,H)Îa con i vertici appartenenti agli assi e i lati contenenti i vertici del parallelogramma (A,B,C,D).
I triangoli esterni sui lati lunghi (AB), (CD) del parallelogramma sono basi di piramidi rette di altezza uguale, a scelta dello studente, con il vertice rivolto verso l'interno del diedro mentre i triangoli esterni sui lati corti (BC), (AD) sono basi di piramidi rette di altezza uguale con i vertici rivolti verso lo spazio esterno del diedro.
I corrispondenti triangoli del parallelogramma interno sono così caratterizzati. I triangoli sui lati lunghi sono basi di piramidi rette di altezza uguale, a scelta dello studente, con il vertice rivolto verso lo spazio esterno del diedro mentre i triangoli sui lati corti sono basi di piramidi rette con i vertici rivolti verso l'interno del diedro.
Si possono discutere, per essere accettate, variazioni al tema e personalizzazioni sia nell'aspetto compositivo sia nella restituzione grafica sia nei materiali per il trattamento cromatico.
Esplicitare solo le didascalie principali.
La condizione di ortogonalità o perpendicolarità
-
Assegnato un piano a ( Ðp1+ Ð p2+ ) determinare il parallelogramma (ABCD) Îa. Quindi per ogni lato di questo definire e rappresentare un triangolo con altezza a scelta dello studente ma perpendicolare al piano a assegnato.
-
Sia dato un triangolo qualunque (ABC)Î a ( Ðp1+ Ð p2+ )definire e rappresentare la piramide retta perpendicolare al piano avente per base il triangolo assegnato.
Il numero indica il testo dell'esercitazione
-
Sapendo che X è il punto medio delle due diagonali del parallelogramma (ABCD)Îa definirne le proiezioni. Quindi definiti gli assi dello stesso individuare e rappresentare il parallelogramma (EFGH) Îa con i vertici sugli assi e i lati contenenti i vertici del parallelogramma (ABCD).
-
Dato a ( Ðp1+ Ð p2+ ) definire (a//b), (c//d) in modo da formare un parallelogramma (ABCD) Îa. Quindi per X(X'=7;X''=7) Ïa definire il piano b//a. Sapendo, inoltre, che X è il baricentro di un parallelogramma (EFGH) Îb simile ad (ABCD), definirne le proiezioni.
-
Sia dato un punto XÎa con X(X'=6; X''=8) ed a ( Ðp1+ Ð p2+ ) costruire per X un fascio di tre rette a,b,c, a scelta dello studente. Quindi su ogni retta definire il vertice di un triangolo qualunque tale che sia (A Îa), (BÎb), (CÎc). Infine precisare e rappresentare un triangolo (EFG), esterno a quello già definito, con i lati paralleli ad (ABC).
Il numero indica il testo dell'esercitazione
La condizione di appartenenza o contenenza
-
Sia dato il piano a ( Ðp1+ Ð p2 +// lt); definire un quadrilatero (ABCD)Îa, con dimensioni a scelta dello studente.
-
Dati i punti A(A'=3; A''=2), B(B'=1; B''=6), C(C'=4; C''=1) definire le proiezioni del relativo triangolo punteggiato. Quindi per due mediane individuare un punto opposto al vertice relativo in modo da definire il triangolo (XYZ) ( con i vertici sulle mediane) Ì ( ABC). Dimostrare, infine, che i due triangoli sono complanari.
Il numero indica il testo dell'esercitazione
Triangoli punteggiati. (Vedi dati dell'immagine)
Dati i seguenti punti, vertici di triangoli punteggiati, nei rispettivi valori assoluti, differenziare gli stessi con riferimento ai caratteri topologici dei singoli diedri definendone, poi, la rappresentazione ortogonale.
Dati i seguenti vertici di un triangolo punteggiato nei valori assoluti A(A'=|4|;A''=|3|), B(B'=|2|;B''=|4|), C(C'=|4|;C''=|2|), definirne la rappresentazione nei quattro diedri relativizzandone i valori, quindi ricercare e definire le rette dei tre lati e delle tre mediane.
Dati i punti A(A'=4; A''=10), B(B'=4; B''=10, C(C'=14; C''=10), disporli in modo da formare un triangolo scaleno ottusangolo. Per ogni punto medio dei lati definire le altezze di altri tre triangoli aventi ciascuno la base coincidente con un lato del triangolo assegnato e il vertice unito a p1+.
Inoltre dal baricentro G staccare tre segmenti GV coincidenti aventi le seguenti caratteristiche:
_ { G (G'= x; G''= 10)
GV { V (V'= x; V''=y con y=14; 18; 22)
Detti segmenti costituiscono i tre cateti dei triangoli (A, G, V), (B, G, V), (C, G, V). Ricercare e definire, infine, le rette dei lati dei triangoli.
Dal testo all'immagine (1)
Dato il punto X(X'=10; X''=6) condurre per X la retta orizzontale a(a',a'', T1a, T2a) inclinata di 50° rispetto a π2+ sulla quale staccare il segmento XA= 5 raggio della circonferenza con centro in X. Costruire quindi il triangolo equilatero (A,B,C) a quota costante e base della piramide retta avente il vertice delle facce laterali in V(V'ºX'; V''=24).
Quindi per L(L'ºX'º V' ; L''=18) condurre la retta orizzontale b(b',b'',T1b,T2b) disposta come la retta a. Su questa staccare il segmento LY=5 dove Y è il centro di una circonferenza a quota costante con Y' > L'. Costruire il triangolo equilatero (D,E,F), con un vertice opposto al punto L, inscritto nella medesima circonferenza e base della piramide retta con il vertice delle facce laterali in W(W'º Y'; W''=6).
Sapendo, infine, che il punto medio M(M', M'') del segmento XW è il raggio della circonferenza a quota costante con raggio MA, determinare i vertici della faccia superiore quadrata del parallelepipedo unito a π1+ base della composizione delle due piramidi triangolari.
Dal testo all'immagine (2)
Sia
dato il punto X(X’=11;X’’=10) centro di una circonferenza a quota
costante e raggio r=7.
Condurre
per X una retta a(a’,a’’,T1a,T2a)
orizzontale inclinata di 15° rispetto a π2+.
Staccare,
su di essa, il segmento AB, diametro della circonferenza e asse di un
quadrato circoscritto alla stessa. Mediante l’altro asse suddividere il
quadrato in quattro quadrati uguali; questi ultimi sono le basi di
quattro piramidi rette con i vertici uniti a π1+.
Sulla
stessa retta a(a’,a’’,T1a,T2a) fissare il
centro Y (con Y’ >
X ’) di un quadrato uguale a quello
precedentemente definito avente un lato
coincidente con quello già determinato. Il nuovo
quadrato costituisce la faccia inferiore, a quota costante, di un
parallelepipedo di altezza h=2.
Per
C (C’ºY';
C’’=12) condurre una retta b(b’,b’’,T1b,T2b)
caratterizzata come la retta a, sulla quale individuare un asse della
faccia superiore del parallelepipedo. Suddividere, poi, questa faccia in
quattro quadrati mediante la determinazione dell’altro asse.
All’interno
di ogni quadrato della faccia superiore, infine,
costruire un triangolo isoscele avente la base coincidente con
l’asse e il vertice dei lati uguali sul punto medio del lato opposto
alla base. Ogni triangolo, inoltre, è ruotato di 90°rispetto al
precedente. Detti triangoli costituiscono le basi di quattro piramidi
rette con i vertici delle facce laterali alle quote: 20,
24, 28, 32.
Definire e rappresentare la composizione di solidi.
