OPERAZIONI GEOMETRICHE : SEZIONE RIGATA DI SOLIDI A FACCE

Home page

Indice dei paragrafi

Algoritmo grafico

Definizione teorica 

Elaborazioni grafiche

Analisi teorica e concettuale

Sia assegnata una piramide retta a base triangolare da sezionare mediante un piano generico a 

Spigoli del solido riguardati come segmenti variamente collocati nello spazio del primo diedro.

Si ricorda che estendendo il segmento si ottiene la retta di cui ne rappresenta una porzione

Facce del solido riguardate come porzioni di superfici piane variamente orientate nello spazio del primo diedro.

Si ricorda che per tre unti non allineati e non coincidenti passa uno ed un solo piano.

Indice dei paragrafi

Algoritmo grafico

Elaborazione grafica della procedura risolutiva di:

(A,B,C)Îb Ç a®(XY)

Algoritmo. Definizione teorica dei  passaggi della procedura risolutiva 

Per determinare la sezione rigata di un solido è necessario, anzitutto, ricercare e definire i piani che contengono le diverse facce. quindi applicare ad ogni piano i tre passaggi procedurali come sintetizzati nell'algoritmo grafico di seguito descritto e sviluppati nell'elaborato grafico posto a sinistra.

Ricordiamo,anzitutto, che un piano può essere individuato e definito mediante uno dei seguenti quattro metodi.

a)Assegnando tre punti non allineati e non coincidenti.

b)Assegnando una retta ed un punto non appartenente alla retta.

c)Assegnando due rette parallele.

d)Assegnando due rette incidenti.

1)Ricerca e definizione del piano b passante per i tre punti A,B,C.

2)Definizione dell'intersezione del piano a assegnato con il piano b trovato.

3)Risultati geometrici della procedura grafica

4)Analisi geometrica dei risultati.

Ricordato quanto sopra e volendo utilizzare il modo a) si eseguono in ordine i seguenti tre passaggi.

1) Considerando i punti (A,B,C) vertici di una figura piana se ne determina il piano b che la contiene.

2) Con il secondo passaggio si esegue l'intersezione tra il piano assegnato a e il piano trovato b generando la retta x.

3) Con il terzo passaggio si esegue l'intersezione della retta x con i lati della figura piana faccia del solido determinando il segmento risultante e lato della figura piana di sezione.

4) Analisi del risultato

Gli estremi del segmento (lato della sezione) sono identificati dai punti X(X', X") e Y(Y', Y") perché appartengono ai lati del triangolo mentre il punto Z(Z', Z") appartiene alla retta c contenente, il lato, ma non al lato del triangolo; quindi è un punto esterno al solido.

Elaborazione grafica della procedura risolutiva di:

(A,B,C)Îb Ç a®(XY)

Base A,B,C della piramide

Per la determinazione del piano utilizziamo la  modalità evidenziata al paragrafo precedente ( Algoritmo grafico) indicata con la lettera a considerando i tre vertici della base come tre punti distinti, non coincidenti ed a quota costante.

La procedura risolutiva prevede lo sviluppo grafico dei passaggi indicati con i numeri 1), 2), 3) con la relativa analisi del risultato

1) Mediante le rette (a,b) contenenti rispettivamente gli spigoli (AB) e (BC) si determinano le tracce (t_1b; t_2b) del piano b(//p₁⁺ ^p₂⁺) che risulta essere un piano orizzontale.

2) Intersecando il piano a assegnato con il piano b trovato (aÇb)si genera la retta orizzontale x(//p₁⁺ Ðp₂⁺) con T^¥_1x impropria e T_2xÎt_2a.

3) La retta x interseca le rette (a,b) contenenti i lati del triangolo di base definendo i seguenti punti:

(xÇa ® RÏAB); 

(xÇb ® YÎBC);

(xÇc ® XÎAC)

4) Analisi del risultato

Analizzando la collocazione dei punti ottenuti si evidenzia quanto di seguito:

Il segmento (RX) Ï al triangolo (ABC) base della piramide.

Il segmento (XY) Î al triangolo (ABC) base della piramide.

Indice dei paragrafi

Elaborazione grafica della procedura risolutiva di:

(A,B,V)Îb Ç a®(ZW)

Faccia laterale ABV della piramide

Per la determinazione del piano utilizziamo la  modalità evidenziata al paragrafo precedente ( Algoritmo grafico) indicata con la lettera a considerando i tre vertici della faccia laterale come tre punti distinti, non coincidenti comunque collocati nello spazio del diedro.

La procedura risolutiva prevede lo sviluppo grafico dei passaggi indicati con i numeri 1), 2), 3) con la relativa analisi del risultato.

1) Mediante le rette (a,b) contenenti rispettivamente i lati (AB) e (AV) del triangolo della faccia laterale e spigoli della piramide, si determinano le tracce (t_1b; t_2b) del piano generico b(Ðp₁⁺ Ðp₂⁺).

2) Intersecando il piano a assegnato con il piano b trovato (aÇb)si genera la retta generica  x(Ðp₁⁺ Ðp₂⁺) con entrambe le tracce reali nel secondo diedro.

3) La retta x interseca le rette (a,b) contenenti i lati del triangolo della faccia laterale definendo i seguenti punti:

 (xÇa ® RÏAB); 

(xÇb ® ZÎAV); 

(xÇc ® WÎBW).

4) Analisi del risultato

Analizzando la collocazione dei punti ottenuti si evidenzia quanto di seguito:

Il segmento (RZ) Ï alla faccia laterale (ABV) della piramide.

Il segmento (ZW) Î alla faccia laterale (ABV) della piramide.

Indice dei paragrafi

Elaborazione grafica della procedura risolutiva di:

(B,C,V)Îb Ç a®(YW)

Faccia laterale BCV della piramide

Per la determinazione del piano utilizziamo la  modalità evidenziata al paragrafo precedente ( Algoritmo grafico) indicata con la lettera a considerando i tre vertici della faccia laterale come tre punti distinti, non coincidenti comunque collocati nello spazio del diedro.

La procedura risolutiva prevede lo sviluppo grafico dei passaggi indicati con i numeri 1), 2), 3) con la relativa analisi del risultato.

1) Mediante le rette (a,b) contenenti rispettivamente i lati (BC) e (BV) del triangolo della faccia laterale e spigoli della piramide, si determinano le tracce (t_1b; t_2b) del piano generico b(Ðp₁⁺ Ðp₂⁺).

2) Intersecando il piano a assegnato con il piano b trovato (aÇb)si genera la retta generica  x(Ðp₁⁺ Ðp₂⁺) con entrambe le tracce reali nel primo diedro.

3) La retta x interseca le rette (a,b) contenenti i lati del triangolo della faccia laterale identificando i seguenti punti 

(xÇa ® YÎBC); 

(xÇb ® WÎBV); 

(xÇc ® SÏCV).

4) Analisi del risultato

Analizzando la collocazione dei punti ottenuti si evidenzia quanto di seguito:

Il segmento (YW) Î alla faccia laterale (BCV) della piramide.

Il segmento (YS) Ï alla faccia laterale (BCV) della piramide.

Indice dei paragrafi

Elaborazione grafica della procedura risolutiva di:

(A,C,V)Îb Ç a®(XZ)

Faccia laterale ACV della piramide

Per la determinazione del piano utilizziamo la  modalità evidenziata al paragrafo precedente ( Algoritmo grafico) indicata con la lettera a considerando i tre vertici della faccia laterale come tre punti distinti, non coincidenti comunque collocati nello spazio del diedro.

La procedura risolutiva prevede lo sviluppo grafico dei passaggi indicati con i numeri 1), 2), 3) con la relativa analisi del risultato.

1) Mediante le rette (a,b) contenenti rispettivamente i lati (AC) e (AV) del triangolo della faccia laterale e spigoli della piramide, si determinano le tracce (t_1b; t_2b) del piano generico b(Ðp₁⁺ Ðp₂⁺).

2) Intersecando il piano a assegnato con il piano b trovato (aÇb)si genera la retta generica  x(Ðp₁⁺ Ðp₂⁺) con entrambe le tracce reali nel primo diedro.

3) La retta x interseca le rette (a,b) contenenti i lati del triangolo della faccia laterale identificando i seguenti punti 

(xÇa ® XÎAC); 

(xÇb ® ZÎAV); 

(xÇc ® SÏCV).

4) Analisi del risultato

Analizzando la collocazione dei punti ottenuti si evidenzia quanto di seguito:

Il segmento (ZX) Î alla faccia laterale (ACV) della piramide.

Il segmento (XS) Ï alla faccia laterale (ACV) della piramide.

Indice dei paragrafi

Rigata della base 

Sezione della base

La retta d'intersezione del piano a con il piano della base determina i due segmenti consecutivi, appartenenti alla retta x d'intersezione, identificati dai seguenti estremi  R(R'; R"), X(X'; X"), Y(Y';Y").

Analizzando i due segmenti si evince che: mentre il segmento (XY) appartiene al triangolo della base del solido perchè gli estremi X ed Y appartengono, rispettivamente agli spigoli seguenti XÎ(AC), YÎ(BC); il punto R risulta essere esterno al triangolo della base tanto che RÏ(AB) ma ad una sua estensione.

Si deduce che il piano a taglia la base della piramide nel segmento XY definendo, così un lato del poligono di sezione della figura piana da ricercare

Indice dei paragrafi

Rigata delle facce laterali

Sezione delle facce laterali

Il piano a intersecando i piani delle facce laterali della piramide determina tre segmenti consecutivi i cui estremi sono identificati dai seguenti punti Z(Z';Z"), W(W';W"), S(S',S") che costituiscono i vertici della spezzata chiusa triangolare (ZWS).

Analizzando singolarmente gli elementi si evince che: mentre il segmento (ZW) ha gli estremi sui lati dalla faccia (spigoli della piramide) tanto che ZÎ(AV) e WÎ(BV); i segmenti (ZS) e (WS) hanno l'estremo S esterno allo spigolo (CV) del solido tanto che SÏ(CV).

I due segmenti (ZS) e (WS) intersecano gli spigoli della base rispettivamente in X ed Y ,già analizzati al paragrafo precedente, per cui si ha: (ZS)=(XZ)+(XS) e (WS)=(WY+YS).

I segmenti distinti (ZX) e (WY) sono le porzioni appartenenti alle relative facce del solido perchè gli estremi appartengono agli spigoli del solido (ZX)Î(ACV), ((WY)Î(BCV): quindi al solido.

I segmenti consecutivi (XS) e (SY) sono, invece, esterni al solido e pertanto non fanno parte del poligono di sezione. 

Indice dei paragrafi 

Intersezione delle sezioni rigate

Intersezione delle sezioni e definizione del poligono risultante

Intersecando, a loro volta, le due sezioni (sezione della base e sezione delle facce laterali) si ottiene il poligono risultante dell'operazione di sezione della piramide con il piano a.

Infatti il triangolo (XWS) risulta essere costituito dal triangolo esterno (XYS) e dal quadrilatero (XZWS) che ha i vertici appartenenti agli spigoli del solido:

XÎ(AC),   ZÎ(AV),   WÎ(BV),   YÎ(BC)

Il lato (XY) comune sia al triangolo sia al quadrilatero individua e separa la porzione di sezione virtuale (esterna al solido) da quella reale (appartenente al solido ed identificata dal quadrilatero chiuso (XZWS) i cui lati appartengono alla base ed alle facce laterali della piramide.

Indice dei paragrafi

Sezione risultante

Riunendo in una unica immagine i risultati delle differenti operazioni si identifica il quadrilatero concavo costituito dai seguenti lati: (RW), (WS), (SX), (XR) appartenenti ad altrettante rette del piano rigato a che taglia la base e le facce della piramide in oggetto.

I prolungamenti (XZ) e (XY) rispettivamente del lato (SX) e del lato (XR) del poligono tagliano il quadrilatero concavo isolando due triangoli esterni al solido (RXZ) e (XYS) ed un quadrilatero convesso che costituisce la sezione risultante avente i lati (XZ), (ZW), (WY), (YZ) appartenenti alle facce ed alla base del solido.

Indice dei paragrafi

Verifica mediante le leggi dell'appartenenza

Verifica di appartenenza

Per verificare la correttezza dell'operazione e quindi del risultato possiamo applicare le leggi dell'appartenenza tra piano  e retta. Infatti se il poligono  risultante è una porzione del piano a che ha tagliato il solido definendone la figura piana di sezione, la stessa deve appartenere al piano e, quindi, tutte le rette (x, y, z, w) contenenti i lati devono essere rette del piano a e conformarsi alla legge descrittiva che impone alle tracce di una retta r essere punti delle tracce del piano secondo quando sintetizzato nello schema posto di seguito.

Infatti, estendendo i segmenti che costituiscono i lati della figura piana si ha:

(XY)Îx ®(T^¥_1xÎt_1a ;T_2xÎt_2a) dove la traccia impropria T^¥_1x implica che sia 

                                                 (x'//t_1a).

(XZ)Îy ® (T_1yÎt_1a ; T_2yÎt_2a)

(WZ)Îz® (T_1zÎt_1a ; T_2zÎt_2a)

(WY)Îw®(T_1wÎt_1a ; T_2wÎt_2a)

Con questa verifica si ha la certezza che il quadrilatero risultante sia una figura piana appartenente al piano di sezione perchè tutte le tracce delle rette contenenti i lati del poligono stanno sulle rispettive tracce del piano di sezione.