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Elaborazioni grafiche

Analisi teorica e concettuale

Sia assegnata una piramide retta a base triangolare da sezionare mediante un piano generico a

Spigoli del solido riguardati come segmenti variamente collocati nello spazio del primo diedro.

Si ricorda che estendendo il segmento si ottiene la retta di cui ne rappresenta una porzione

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Facce del solido riguardate come porzioni di superfici piane variamente orientate nello spazio del primo diedro.

Si ricorda che per tre unti non allineati e non coincidenti passa uno ed un solo piano.

Elaborazione grafica della procedura risolutiva di:

r Ç a®P

Algoritmo grafico. Definizione teorica dei  passaggi della procedura risolutiva. 

1) Con il primo passaggio si individua, tra gli infiniti piani che contengono la retta r, il piano b più idoneo allo sviluppo del secondo passaggio.

2)Il piano dato a e il piano b assunto si intersecano generando la retta x complanare ad r .

3)Intersecando la retta data r con la retta  x generata con il secondo passaggio, si determina il punto P cercato.

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Elaborazione grafica della procedura risolutiva di:

a Ç a®L

Spigolo AB

1) Tra gli infiniti piani contenenti la retta a si assume, per semplicità ed economia grafica, il piano orizzontale b .

2) Il piano b assunto interseca il piano  a secondo la retta x complanare alla retta a.

3) L'intersezione di x con a determina il punto L.

Poichè LÏAB significa che a non interseca lo spigolo in oggetto.

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Elaborazione grafica della procedura risolutiva di:

b Ç a®M

Spigolo BC

Individuata la retta bÌ BC si applica la procedura operativa sviluppando i tre passaggi come indicato di seguito.

1) Tra gli infiniti piani contenenti la retta b si assume, per semplicità ed economia grafica, il piano orizzontale b .

2) Il piano b assunto interseca il piano a  generando la retta x complanare alla retta b.

3) L'intersezione di x con b determina il punto M.

Poichè MÎBC significa che a interseca lo spigolo del solido.

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Elaborazione grafica della procedura risolutiva di:

c Ç a®N

Spigolo AC

Individuata la retta cÌ AC si applica la procedura operativa sviluppando i tre passaggi come indicato di seguito.

1)Tra gli infiniti piani contenenti la retta c si assume, per semplicità ed economia grafica, il piano orizzontale b .

2)Il piano b assunto interseca il piano a  generando la retta x complanare alla retta c.

3)L'intersezione di x con c determina il punto N.

Poichè NÎAC significa che a interseca lo spigolo del solido.

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Elaborazione grafica della procedura risolutiva di:

d Ç a®O

Spigolo AV

Individuata la retta dÌ AV si applica la procedura operativa sviluppando i tre passaggi come indicato di seguito.

1) Tra gli infiniti piani contenenti la retta d si assume, per semplicità ed economia grafica, il piano b   proiettante in 1^a proiezione.

2) Il piano b assunto interseca il piano a  generando la retta x complanare alla retta d.

3) L'intersezione di x con d determina il punto O.

Poichè OÎAV significa che a interseca lo spigolo del solido.

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Elaborazione grafica della procedura risolutiva di:

e Ç a®P

Spigolo BV

Individuata la retta eÌ BV si applica la procedura operativa sviluppando i tre passaggi come indicato di seguito.

1) Tra gli infiniti piani contenenti la retta e si assume, per semplicità ed economia grafica, il piano b   proiettante in 2^a proiezione.

2) Il piano b assunto interseca il piano a  generando la retta x complanare alla retta e.

3) L'intersezione di x con e determina il punto P.

Poichè PÎBV significa che a interseca lo spigolo del solido.

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Elaborazione grafica della procedura risolutiva di:

f Ç a®Q

Spigolo CV

Individuata la retta fÌ BV si applica la procedura operativa sviluppando i tre passaggi come indicato di seguito.

1) Tra gli infiniti piani passanti per f, data la sua posizione, si assume il piano generico b

2) Il piano b assunto interseca il piano a  generando la retta x complanare alla retta f.

3) L'intersezione di x con f determina il punto Q.

Poichè QÏCV significa che a non interseca lo spigolo in oggetto.

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Punteggiata della base (Spigoli della base)

Sezione degli spigoli della base

I punti L(L';L"), M(M';M"), N(N';N") sono, rispettivamente, i punti di intersezione del piano a con gli spigoli (AB), (BC) e (AC) della base della piramide. 

Essi risultano a quota costante perché la retta aÌ(AB), la retta bÌ(BC) e la retta cÌ(AC) sono tre rette orizzontali diversamente inclinate rispetto a p₂⁺.

Per questo motivo le prime proiezioni (L'; M'; N') dei punti risultano allineate secondo la traccia prima del piano di sezione.

Inoltre, mentre il segmento (NM) appartiene alla base del solido il segmento adiacente (ML) è esterno al solido tanto che il punto L, pur allineato con  i vertici A e B non è parte del medesimo.

Da questa analisi si evince che il piano  a non interseca lo spigolo (AB) del solido.

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Punteggiata degli spigoli laterali           (Spigoli laterali)

Sezione degli spigoli laterali

I punti O(O';O"), P(P';P"), Q(Q';Q") sono, rispettivamente, i punti di intersezione del piano a con gli spigoli (AV), (BV) e (CV) delle facce laterali della piramide.

Essi risultano a quota ed aggetto diversi perchè collocati nello spazio su una stella di tre rette, con sostegno in V, variamente orientate che costituiscono gli spigoli delle facce laterali del solido.

Mentre i punti O(O';O") e P(P';P") appartengono ai rispettivi spigoli (AV) e (BV), il punto Q(Q';Q") non appartiene allo spigolo (CV) tanto da risultarne esterno e collocato nello spazio del quarto diedro. Di conseguenza i lati (OQ) e (PQ), del poligono di sezione, apparterranno solo in parte alla sezione del solido. Per identificare le due porzioni è necessario eseguire l'intersezione delle due sezioni, come sviluppato nell'immagine successiva, isolando  esclusivamente ed opportunamente i vertici appartenenti agli spigoli del solido.

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Intersezione delle sezioni punteggiate: analisi

Intersezione delle sezioni punteggiate: analisi

Intersecando le due sezioni (quella relativa agli spigoli della base con quella relativa agli spigoli delle facce laterali) si evidenzia come i punti N(N';N") ed M(M';M") appartenendo, rispettivamente, ai segmenti (OQ) e (PQ) dividano gli stessi nelle due porzioni di cui si è detto al punto precedente.

Isolando, quindi, ed eliminando i segmenti (LM), (MQ) ed (NQ) che hanno un estremo non appartenente al solido si evidenzia il poligono chiuso costituito dai vertici (O,P,M,N) che  costituisce la sezione punteggiata di cui si sta trattando.

Le relative proiezioni ortogonali (O'; P'; M'; N') e (O"; P"; M"; N") costituiscono le proiezioni ortogonali della medesima sezione punteggiata che si ottiene tagliando la piramide retta assegnata con il piano generico a.

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Poligono risultante

Da quanto sopra si isola ed evidenzia, come nell'immagine affianco, il risultato descrittivo dell'operazione esposta nei paragrafi precedenti.

E' solo il caso di aggiungere che, dovendo il quadrilatero (M, N, O, P) appartenere al piano di sezione, estendendo adeguatamente i lati del poligono, le tracce delle rette così ottenute devono appartenere alle tracce omonime del piano di sezione come sviluppato e verificato nel paragrafo successivo e rispondere alla legge dell'appartenenza tra punto e piano sinteticamente espressa nella seguente formalizzazione (P Î a) Þ (P Î r Î a).

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Verifica mediante le leggi dell'appartenenza

Verifiche di appartenenza

Per il lato (OP) si conduce la retta a tale che a' Ì(O'P'), a" Ì(O"P"). 

Si genera una retta frontale a con (T_1aÎ t_1a) e (T^¥_2a).

Per il lato (MN) si conduce la retta b tale che b'Ì(M'N'), b"Ì(M"N").

Si genera una retta orizzontale b con (T^¥_1b) e (T_2bÎ t_2a).

Per il lato (MP) si conduce la retta c tale che c'Ì(M'P'), b"Ì(M"P").

Si genera una retta  generica c con (T_1c Î t_1a) e (T_2c Î t_2a).

Per il lato (OP) si conduce la retta d tale che d'Ì(O'N'), d"Ì(O"N").

Si genera una retta generica d con (T_1d Î t_1a) e (T_2d Î t_2a).

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